Dychotomia
Dychotomia (gr. dichotomos – przecięty na dwie części) – dwudzielność; podział na dwie części, wzajemnie się wykluczające i uzupełniające do całości.
Podział dychotomiczny zbioru X polega na wyróżnieniu w nim dwóch podzbiorów – A i B – które są rozłączne (nie mają wspólnych elementów) i wyczerpują zbiór X (w skład X nie wchodzi nic spoza A i B, każdy element zbioru X należy albo do podzbioru A, albo do B).
Przykłady |
Szereg twierdzeń w matematyce jest formułowanych w postaci dychotomii, stwierdzenia że jedna (i tylko jedna) z dwóch własności przysługuje rozważanym obiektom. Twierdzenia tego typu wzbudzają dodatkowe zainteresowanie, jeśli jeden z warunków mówi, że badany obiekt jest pod pewnym względem bardzo "prosty", a drugi postuluje, że obiekt ten jest bardzo "złożony". Na przykład:
- jeśli B jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to B zawiera podprzestrzeń z bazą bezwarunkową albo B ma podprzestrzeń dziedzicznie nierozkładalną[1],
- każdy analityczny podzbiór prostej rzeczywistej jest albo przeliczalny, albo zawiera homeomorficzną kopię zbioru Cantora,
- jeśli P{displaystyle {mathbb {P} }}
jest pojęciem forsingu, które jest Suslin-ccc, to albo P{displaystyle {mathbb {P} }}
Przypisy |
↑ W. T. Gowers. A new dichotomy for Banach spaces. „Geom. Funct. Anal.”. 6, s. 1083--1093, 1996.
↑ Saharon Shelah. How special are Cohen and random forcings i.e. Boolean algebras of the family of subsets of reals modulo meagre or null. „Israel Journal of Mathematics”. 88, s. 159–174, 1994.
